At cross purposes
to have differing ideas or intentions.
お互いに異なる考えや意図があること。
crossには 相反する、逆方向のという意味があります。
互いに逆の目的に向かって、つまり行き違う、食い違う、誤解するという意味になります。
talk,speak,act,workなどの動詞とともに使われることが多いです。
The two groups seemed to be working at cross purposes during this meeting.
2つのグループは、この会議の中で、お互いに考えが食い違っているかのように見える。
英語ネイティブによる発音はこちらです。