As conceited as a barber's cat
very conceited or vain.
ひどくうぬぼれた、虚栄心の強い
as +形容詞 + as の形の、比喩の表現が続いています。
今回のイディオムは、直訳すると「床屋の猫のようにうぬぼれている」となります。
床屋の猫のようにうぬぼれているという意味がよくわかりませんが、確かにその語源もはっきりしないようです。
barber's cat自体は、下層階級の間でつかわれていたスラングらしく、all dolled up like a barber's catと「床屋の猫のようにおめかししている」というものもあれば、「無駄におしゃべりな」という意味や「飢えている」「痩せている」という意味でも使われたようです。
いずれにしても、あまり意味は込められていません。
After she won the best student award, she became as conceited as a barber's cat.
最優秀学生賞を獲った後、彼女はすっかり思い上がっている。
英語ネイティブによる発音はこちらです。