Keep an eye on.
To watch carefully, to be sure you know what they are doing.
慎重に見ること。何が起こっているかをわかるように気をつけること。
文字通り、目を何かから離さないという意味です。
目は単数形なので注意が必要です。
例えば、悪い人を監視するという意味でも、赤ちゃんを見守るという意味でも、また温度の変化に注意するという意味でも使われます。
ほぼ、どのような対象でも使える、注視するという意味のイディオムです。
keepですので、ある一定期間を見届けるという意味合いがあるようです。
英英辞書によれば、同義語にmindが挙げられています。
また、他にkeep an eye out for(on) ...というものがあります。こちらは主に「警戒・怪しむ」のニュアンスなので、赤ちゃんには使われないでしょう。
以下の例文については、スポーツの試合のシチュエーションでつかわれた場合です。
That boy has won the race the last three times, be sure to keep an eye on him.
あいつは前回3回連続で試合に勝っている。あいつから目を離すなよ。
英語ネイティブによる音声はこちらです。